随机占优

设 $X$ 和 $Y$ 为随机变量，定义域均为 $[a,b]$，$F(X)$ 和 $G(Y)$ 为相应的概率累积分布函数。

一阶随机占优

若对于任意的 $x\in [a,b]$，都满足

则称则 $F(X)$ 一阶随机占优（first-order stochastic dominance）于 $G(Y)$。

Theorem 若 $F(X)$ 一阶随机占优于 $G(Y)$，则 $X$ 的期望 $E_F(X)$ 大于 $Y$ 的期望 $E_G(Y)$，即

证明：

证毕。

Theorem 令 $u(x)$ 为任意非递减函数。当且仅当 $F(X)$ 一阶随机占优于 $G(Y)$ 时，$u(X)$ 的期望 $E_F[u(X)]$ 不小于 $u(Y)$ 的期望 $E_G[u(Y)])$，即

证明：

（充分性）
如果 $F(X)$ 一阶随机占优于 $G(Y)$ ，则

（必要性）
如果 $E_F[u(X)]\ge E_G[u(Y)]$，则

这看起来似乎并不能推出对于任意 $x$ 都满足 $G(x)\ge F(x)$。

假设 $\mathrm{\exists }\overline{x}\in [a,b]$ 使得 $F(\overline{x})-G(\overline{x})>0$，取非递减函数

此时

这与 $F(\overline{x})-G(\overline{x})>0$ 矛盾，因此对于任意 $x$ 都满足 $G(x)\ge F(x)$。
证毕。

二阶随机占优

若对于任意的 $x\in [a,b]$，都满足

则称 $F(X)$ 二阶随机占优于 $G(Y)$。

Theorem 若 $F(X)$ 二阶随机占优于 $G(Y)$，则随机变量 $X$ 的期望 $E_F(X)$ 不小于随机变量 $Y$ 的期望 $E_G(Y)$，即

证明：根据二阶随机占优的定义可知

因此，类似一阶随机占优的必要条件的证明过程

证毕。

Theorem 令 $u(x)$ 为任意非递减的凹函数。当且仅当 $F(X)$ 二阶随机占优于 $G(Y)$ 且 $E_F(X)=E_G(Y)$ 时，$u(X)$ 的期望 $E_F[u(X)]$ 不小于 $u(Y)$ 的期望 $E_G[u(Y)])$

证明：